【高数(三)】微分方程

# 前言

一阶微分方程：

$$y' + p(x)y = q(x)$$

二阶齐次微分方程：

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$$

二阶非齐次微分方程：

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$$

解释：

1. “齐次”，“非齐次” 就是$y''$、$y'$ 的次数是 1，不存在未知函数高次幂的情形。
2. “常系数”，就是$p(x)$、$q(x)$ 都是常数（$f(x)$ 可以不是，后面会讨论）。

# 一、二阶微分方程解的结构

# 1. 齐次微分方程解的结构

1. 齐次微分方程的解有齐次通解和齐次特解，设$y_1(x)$、$y_2(x)$ 是齐次微分方程$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 的两个线性无关特解，则$y(x) = C_1y_1 + C_2y_2$ 是该齐次方程的通解。

# 2. 非齐次微分方程解的结构

1. 非齐次微分方程的解同样分为通解和特解，设：

   • $y(x) = C_1y_1 + C_2y_2$ 是非齐次微分方程$y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$ 对应的齐次方程$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 的通解，（$y(x)$ 也称为非齐次微分方程的齐次通解）；

   • $y^*$ 是非齐次微分方程$y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$ 的一个非齐次特解；

   则$Y(x) = y(x) + y_*$ 是非齐次方程$y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$ 的非齐次通解。

2. 两非齐次微分方程对应的齐次方程相同，其非齐次通解相加，得到一个新非齐次方程的解，设：

   • $y^*_1(x)$ 是非齐次方程$y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x)$ 的非齐次通解；

   • $y^*_2(x)$ 是非齐次方程$y'' + p(x)y' + q(x)y = f_2(x)$ 的非齐次通解；

   则$y(x) = y^*_1(x) + y^*_2(x)$ 是新非齐次方程$y'' + p(x)y' + q(x)y = f_2(x) + f_2(x)$ 的非齐次通解。

3. 若$y^*_1(x)$、$y^*_2(x)$ 是非齐次方程组$y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$ 的两个非齐次特解，则$y(x) = y^*_1(x) - y^*_2(x)$ 是其对应齐次方程$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 的通解

# 二、一阶微分方程的求解

# 1. 可分离变量型

若出现形如$y' = f(x)g(y)$ 或者$y' = f(ax + by +c)$ 的微分方程，则直接考虑分离变量：

1. 对于$y' = f(x)g(y)$，直接分离变量：

$$\begin{aligned} y' = f(x)g(y) \Rightarrow& \frac {dy}{g(y)} = f(x)dx\\ 两边积分\Rightarrow& \int \frac {dy}{g(y)} = \int f(x)dx \end{aligned}$$

2. 对于$y' = f(ax + by +c)$，换元后分离变量：

$$\begin{aligned} y' = f(ax + by +c) \Rightarrow& 令u = ax + by + c,则u' = a + bf(u)\\ \Rightarrow& \frac {du}{a + bf(u)} = dx\\ 两边积分\Rightarrow& \int \frac {du}{a + bf(u)} = \int dx\\ \end{aligned}$$

注意有时可以化为$\frac {dx}{dy}$ 更方便。

# 2. 齐次型

1. 若出现$y' = f(\frac{y}{x})$，换元后分离变量：

$$\begin{aligned} y' = f(\frac {y}{x}) \Rightarrow& 令\frac{y}{x} = u\\ \Rightarrow& y = ux \Rightarrow \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}\\ \frac{dy}{dx}替换左边\Rightarrow& x \frac{du}{dx} + u = f(u) \Rightarrow \frac{du}{f(u) - u} = \frac{dx}{x}\\ 两边积分\Rightarrow& \int \frac {du}{f(u) - u} = \int \frac{dx}{x}\\ \end{aligned}$$

2. 若出现$\frac{1}{y'} = x'(y) = f(\frac{x}{y})$，用$u = \frac{x}{y}$ 换元后分离变量，求得$x(y)$，过程同上（注意是求 x (y)）。

# 3. 一阶线性微分方程

1. 线性一阶微分方程通常形如$y' + p(x)y = q(x)$，直接使用公式求解：

$$y(x) = e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx + c]$$

2. 还有伯努利方程$y' + p(x)y = q(x)$，数二不考，自行查找资料。

# 三、二阶微分方程求解

# 1. 二阶可降阶微分方程

两种情况都是一阶可降阶微分方程：$y'' = f(x, y')$（式子中没有 y），$y'' = f(y, y')$（式子中没有 x）。核心思路都是消去$y'$（代换后的方程中没有$y'$）。

1. 对于$y'' = f(x, y')$：

   $$\begin{aligned} y'' = f(x, y') \Rightarrow& p(x) = y' ,p'(x) = y'\\ 可以化为一阶方程\Rightarrow& \frac{dp}{dx} = f(x, p)\\ 解得通解为p = \phi(x, C_1) \Rightarrow& y = \int \phi(x, C_1)dx + C_2 \end{aligned}$$

2. 对于$y'' = f(y, y')$：

   $$\begin{aligned} y'' = f(y, y') \Rightarrow& p(y) = y' ,p'(x) = p\frac{dp}{dy}\\ 可以化为一阶方程\Rightarrow& p\frac{dp}{dx} = f(y, p)\\ 解得通解为p = \phi(y, C_1) \Rightarrow& x = \int \frac{1}{\phi(y, C_1)}dy + C_2 \end{aligned}$$

注：若同时有$y''$、$y'$、$y$、$x$，则不可降阶。

# 2. 二阶常系数微分方程

# (1). 二阶常系数齐次微分方程

形如$y'' + py' + qy = 0$ 的方程，称为二阶常系数齐次微分方程，解法如下：

该方程的特征方程为$\lambda^2 + p\lambda + q = 0$，设$\lambda_1$、$\lambda_2$ 是方程的两个根，称为特征根。设$\Delta = p^2 - 4q$。

1. 当$\Delta \gt 0$ 时，特征根不相等（$\lambda_1 \ne \lambda_2$），设通解：

$$y = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x}$$

2. 当$\Delta = 0$ 时，特征根是二重根（$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$），设通解：

$$y = (C_1 + C_2x)e^{\lambda x}$$

3. 当$\Delta \lt 0$ 时，特征根为共轭复根（$\alpha \pm \beta i$），设通解：

$$y = (C_1cos(\beta x) + C_2sin(\beta x))e^{\alpha x}$$

# (2). 二阶常系数非齐次微分方程

形如$y'' + py' + qy = f(x)$ 的方程，称为二阶常系数非齐次微分方程，解法如下：

1. 先求出非齐次微分方程对应齐次微分方程的通解（用上面的方法）。

2. 再根据自由项求一组非齐次特解：

   1. 当自由项$f(x) = e^{\alpha x}P_n(x)$，设特解为：

      $$\begin{aligned} y^* =& e^{\alpha x}Q_n(x)x^k\\ \end{aligned}$$

      有三项待定：$\alpha$、$Q_n(x)$、$k$

      • $e^{\alpha x}$ 照抄；
      • $Q_n(x)$ 设为$Ax^n + Bx^{n-1} + ...+N$，$n$ 是$P_n(x)$ 中$x$ 的最高阶数；
      • $k$ 根据$\lambda$ 和$\alpha$ 的关系确定，$a=\lambda_1=\lambda_2$ 时取$k=2$；$a=\lambda_1 或\lambda_2$ 取$==1$；都不相等取$k=0$。

   2. 当自由项$f(x) = e^{\alpha x}[P_m(x)cos(\beta x) + P_n(x)sin(\beta x)]$，设特解为：

      $$\begin{aligned} y^* =& e^{ax}[Q^*_l(x)cos(\beta x) + Q^{**}_l(x)sin(\beta x)]\\ \end{aligned}$$

      有四项待定：$\alpha$、$Q^*_n(x)$、$Q^{**}_n(x)$、$k$

      • $e^{\alpha x}$ 照抄；
      • $k$ 根据$\alpha \pm \beta i$ 是否等于$\lambda$ 而定:$\alpha \pm \beta i = \lambda$ 时$k=1$；$\alpha \pm \beta i \ne \lambda$ 时$k=0$；
      • $Q^*_l$ 和$Q^{**}_l$ 不同，定义类比上面的部分，其中阶数$l=max\{m,n\}$。

   3. 将非齐次特解带入非齐次方程，解出$Q(x)$ 中的未知数（特解一般不含未知量）。

3. 最后，非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解:

   $$y = y + y^*$$

# 四、高阶常系数齐次线性微分方程求解

高阶常系数齐次线性微分方程，形如：

$$C_ny^{(n)} + C_{n-1}y^{(n-1)} + ... + C_1y' + C_0 = f(x)$$

其对应的特征方程，形如：

$$C_n\lambda^n + C_{n-1}\lambda^{n-1} + ... + C_1\lambda + C_0 = 0$$

只涉及求通解，通解解法与自二阶常系数微分方程一脉相承，形式和特征根$\lambda$ 有如下关系：

1. $\lambda$ 为单实根，设该特征根对应的通解部分为：

   $$\begin{aligned} y =& Ce^{\lambda x} \end{aligned}$$

2. $\lambda_1$、$\lambda_2$、$\lambda_3$…$\lambda_k$ 为$k$ 重实根，设该特征根对应的通解部分为：

   $$y = (C_1 + C_2x + C_3x^2 + ... + C_kx^{k-1})e^{\lambda x}$$

3. $\lambda = \alpha \pm \beta i$ 为单共轭复根，设该特征根对应的通解部分为：

   $$y = (C_1cos \beta x + C_2sin \beta x)e^{\alpha x}$$

4. $\lambda = \alpha \pm \beta i$ 为二重（多重情况类推）共轭复根，设该特征根对应的通解部分为：

   $$y = (C_1cos \beta x + C_2sin \beta x + C_3xcos \beta x + C_4xsin \beta x)e^{\alpha x}$$

之后，把所有特征根对应的部分相加，即得到高阶常系数齐次线性微分方程的通解形式。