【高数(二)】一元函数积分学

# 一、运用一元函数积分的概念

# 1. 原函数和其积分、微分的奇偶性、周期性

奇函数求导为偶函数，偶函数求导为奇函数。
奇函数积分为偶函数，偶函数积分不一定是奇函数（若积分引入的常数项为 0 则是奇函数）。
周期函数求导后还是周期函数，其周期 T 不变。
若周期函数积分后还是以 T 为周期的周期函数，则该函数一个周期内的积分值为 0，反之亦然。

# 2. 积分比大小

公式、几何意义。
积分保号性。

# 3. 定积分的定义

定积分的定义常常用来求数列极和：

对于单项表达式可以直接化成 $\frac{1}{n} f(\frac{i}{n})$ 的，可以直接套用定积分定义，如下：

$\begin{aligned} 一般地：&\lim_{n \rightarrow \infin} \sum^n_{i = 1} f[a + \frac{i}{n}(b-a)]\frac{b-a}{n} = \int^b_a f(x)dx\\ 当积分区间为(0,1)：&\lim_{n \rightarrow \infin} \sum^n_{i = 1} f(\frac{i}{n})\frac{1}{n} = \int^1_0 f(x)dx\\ \end{aligned}$
对于不能化成 $\frac{1}{n} f(\frac{i}{n})$ 的（比如分子多一个 n 或者分母多一个 n），可以考虑用放缩法：

放缩法可以放缩
1. 变量（比如 $\frac{i^2 + 1}{n^2}$ 放缩成 $(\frac{i}{n})^2$ ）.
2. 数列表达式（比如可以用夹逼准则）。
若还含有变量，如 $x\frac{i}{n}$ ，则也可以用定积分定义：

$\lim_{n \rightarrow \infin} \sum^n_{i = 1} f(x\frac{i}{n})\frac{x}{n} = \int^x_0 f(x)dx$

# 4. 反常积分收敛判断

判断敛散性时，只能有一个瑕点，若有多个瑕点，需要分割积分区间。

尺度判别：

$\begin{aligned} 对于&\int^1_0\frac{1}{x^p}dx& \left \{ \begin{array} {} 0 \lt p \lt 1时，收敛\\ p \geqslant 1时，发散\\ \end{array} \right .\\ 对于&\int^{+\infin}_1\frac{1}{x^p}dx& \left \{ \begin{array} {} p \gt 1时，收敛\\ p \leqslant 1时，发散\\ \end{array} \right . \end{aligned}$
尺度判别（含对数）：

$\begin{aligned} 形如&\int \frac{1}{x^\alpha \ln^\beta x}\ dx\ 作判断:\\ 对于&\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha \ln^\beta x}\ dx& \left \{ \begin{array} {} \alpha \lt 1\\ \alpha = 1、\beta \gt 1\\ \end{array} \right .时都收敛，其他都发散\\ 对于&\int_1^\infin \frac{1}{x^\alpha \ln^\beta x}\ dx& \left \{ \begin{array} {} \alpha \gt 1\\ \alpha = 1、\beta \gt 1\\ \end{array} \right .时都收敛，其他都发散\\ \end{aligned}$
比较法：
1. 夹逼准则，用 $0 \lt f(x) \lt g(x)$ $0 < f (x) < g (x)$
  1. 当 $g(x)$ 收敛，则 $f(x)$ 收敛。
  2. 当 $f(x)$ 收敛，则 $g(x)$ 收敛
2. 判断 $\int^{+\infin}_a f(x)dx$ $\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x$ 、 $\int^{+\infin}_a g(x)dx$ $\int_{a}^{+ \infty} g (x) d x$ 构造 $\lim_{x \rightarrow \infin}\frac{f(x)}{g(x)} = \lambda$ $lim_{x \to \infty} \frac{f ( x )}{g ( x )} = λ$ 。
  1. 若 $\lambda \ne 0$ ， $\int^{+\infin}_a f(x)dx$ 、 $\int^{+\infin}_a g(x)dx$ 敛散性相同。
  2. 若 $\lambda = 0$ ，若 $\int^{+\infin}_a g(x)dx$ 收敛，则 $\int^{+\infin}_a f(x)dx$ 收敛。
  3. 若 $\lambda = \infin$ ，若 $\int^{+\infin}_a g(x)dx$ 发散，则 $\int^{+\infin}_a f(x)dx$ 发散。

# 二、一元函数积分计算

# 1. 积分公式（熟记）

简单的公式（略）
分母带根号 $x^2$ 为负（反 sin）：

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \arcsin(\frac {x}{a}) + C \ (重要)$
根式内有 $-x^2$ （反 sin 多项式）：

$\int \sqrt{a^2-x^2}dx = \frac{a^2}{2}\arcsin(\frac{x}{a}) + \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + C$
分母带根号 $x^2$ 为正（对数函数）：

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx = \ln(x + \sqrt{x^2 \mp a^2}) + C$
分母是加法 $x^2$ 为正（反 tan）：

$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac {x}{a}) + C \ (重要)$
分母为平方差公式 $(a^2 - b^2)$ 积分:

$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx = \frac{1}{2a}\ln(\frac{x-a}{x+a}) + C \ (重要)$
三角函数（sin、cos 略）：

$\int \tan x\ dx = -\ln|\cos x| + C\\ \int \cot x\ dx = -\ln|\sin x| + C\\$
三角函数的乘积与平方：

$\begin{aligned} &\int \sin^2x\ dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin2x}{4} + C\\ &\int \cos^2x\ dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin2x}{4} + C\\ &\int \tan^2x\ dx = \tan x - x + C\\ &\int \cot^2x\ dx = -\cot x - x + C\\ &\int \sec^2x\ dx = \tan x + C \ (重要)\\ &\int \csc^2x\ dx = -\cot x + C\\ &\int \sec x \tan x\ dx = \sec x + C\\ &\int \csc x \tan x\ dx = \csc x + C\\ \end{aligned}$

# 2. 不定积分计算

凑微分：

$\int g'(x)f[g(x)]dx = \int f[g(x)] d[g(x)]$

之后设 $g(x) = u$ 以简化运算。
换元法，凑微分、分部积分无法算出一定要想到换元：

$\int f(x)dx \Rightarrow令x = g(u)\Rightarrow \int f[g(u)]d[g(u)] = \int g'(u)f[g(u)]du$

常用的代换
1. 三角换元（非常重要），当式子中出现如下形式时，可以用对应的三角代换：
  
  $\begin{aligned} &1.\ a^2 - x^2 \Rightarrow 令\ x = a\sin t\\ &2.\ a^2 + x^2 \Rightarrow 令\ x = a\tan t，\ 则dx = \sec^2t\ dt\\ &3.\ x^2 - a^2 \Rightarrow 令\ x = a\sec t，\ 则dx = \sec t\tan t\ dt\\ \end{aligned}$
2. 根式代换，式子中复杂函数内出现根式，可以尝试将根式做代换。
3. 反函数代换、复杂函数代换。
分部积分：

$\int u dv = uv-\int vdu$

这个方法常用在两个基本初等相乘的积分的化简与运算。
有理函数积分，形如：

$\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx$

其中 $P_n(x)$ 、 $Q_m(x)$ 是关于 x 的 n、m 阶多项式。核心思想就是因式分解，因式分解方法如下：

$\begin{aligned} &Q_m(x)中含有的一次单因式(ax+b)会产生一项:\frac{A}{ax+b};\\ &Q_m(x)中含有的k重一次因式(ax+b)^k会产生k项:\frac{A_1}{ax+b}、\frac{A_2}{(ax+b)^2}……;\\ &Q_m(x)中含有的二次单因式(ax^2+bx+c)会产生一项:\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c};\\ &Q_m(x)中含有的k重二次因式(ax^2+bx+c)^k会产生k项:\frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}、\frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}……;\\ \end{aligned}$

之后将分解后的项相加，再求出分母的代数，就完成了因式分解。分解后再逐个求积分。

# 3. 定积分计算

关于对称区间积分：偶倍奇零。
周期函数积分：

$\int^{a + T}_a f(x)dx = \int^T_0 f(x)dx\\ \int^{a + nT}_a f(x)dx = n\int^T_0 f(x)dx$
区间再现公式：

$\begin{aligned} \int^b_a f(x)dx &= \int^b_a f(a+b-x)dx\\ &= \frac{1}{2}\int^a_b [f(x) + f(a+b-x)]dx\\ &= \int^{\frac{a+b}{2}}_a [f(x) + f(a+b-x)]dx \end{aligned}$
华理士公式：

$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 sin^nxdx = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 cos^nxdx = \begin{aligned} \left \{ \begin{array}{} \frac{n-1}{n}*\frac{n-3}{n-2}*...*\frac{2}{3}*1,(n是奇数)\\ \frac{n-1}{n}*\frac{n-3}{n-2}*...*\frac{1}{2}*\frac{\pi}{2},(n是偶数)\\ \end{array} \right . \end{aligned}$
定积分升阶降阶（略）
分段函数定积分（略）
换元法、凑微分、分部积分法仍可以使用。但要考虑积分区间（略）

# 4. 变限积分计算

分段函数的变限积分（略）
定积分求导公式：

$[\int^{\phi_2(x)}_{\phi_1(x)} f(t)dt]'_x = f[\phi_2(x)]\phi'_2(x) - f[\phi_1(x)]\phi'_1(x)$
换元求导（略）
拆分求导（需要重新复习）
交换积分次序（参考二重积分）

# 5. 反常积分计算

在瑕点收敛时，反常积分可以用如下方法计算：

$\begin{aligned} \int^{+\infin}_a f(x)dx &= \lim_{x \rightarrow \infin}F(x) - F(a)\\ \int^{b}_a f(x)dx &= F(b) - \lim_{x \rightarrow a}F(x),(a是瑕点)\\ \end{aligned}$

也可以尝试换元。

# 三、一元函数积分学几何应用

# 1. 面积

直角坐标系下面积
极坐标系下的面积：

$S = \int_\alpha^\beta \frac{1}{2}|r_2^2(\theta) - r_1^2(\theta)|d\theta$

# 2. 旋转体体积

围绕 x 轴旋转的旋转体体积：

$V = \pi \int_a^b f^2(x)dx$
围绕 y 轴旋转的旋转体体积：

$V = 2\pi \int_a^b x|f(x)|dx$
直角系下围绕任意直线得到的旋转体体积：

$V = ...自己查$
极坐标系下围绕极轴旋转得到的旋转体体积：

$V = \frac{2}{3}\pi \int_\alpha^\beta r^3(\theta)sin(\theta)d\theta$

# 3. 平均值

$\overline{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^bf(x)dx$

# 4. 平面曲线弧长公式

直角系下求弧长：

$c = \int_a^b \sqrt{1 + [y'(x)^2]} dx$
参数方程求弧长：

$c = \int_a^b \sqrt{[x'(t)^2] + [y'(t)^2]} dt$
极坐标下求弧长：

$c = \int_\alpha^\beta \sqrt{[r(\theta)^2] + [r'(\theta)^2]} dx$

# 5. 旋转曲面面积

# 6. 形心坐标公式

# 四、一元函数积分学的物理应用

# 1. 位移大小、总路程

位移大小：

$C= \int_{t_1}^{t_2}v(t)dt$

总路程：

$C = \int_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt$

# 2. 变力做功

变力做功公式：

$W = \int_a^b F(x)\ dx$

其中， $F(x)$ 是力随距离变化的公式。

同理，抽水时，力为重力 $g = \rho g \Delta h$

$W = \rho g \int_a^b hS(h)\ dh$

其中， $S(x)$ 是水罐截面积公式。

# 3. 静水压力

$F = \rho g \int^b_a h[f(h) - g(h)]\ dh$

其中， $[f(h) - g(h)]$ 是在深度 h 时薄片的宽度。

# 4. 密度不均匀细棍的质心

$\overline x = \frac{\int_a^b x \rho(x)\ dx}{\int_a^b \rho(x)\ dx}$

其中， $\rho(x)$ 是细棍密度随细棍长度变化的公式。