【高数(一)】一元函数极限、微分

# 前言

# 函数极限、连续、可导、到函数连续

1. 极限存在条件：$x_0$ 的去心邻域有定义，左极限 = 右极限。

2. 连续的条件：$x_0$ 邻域有定义，且极限值 = 函数值（即左极限 = 右极限 = 函数值），则连续。

   函数连续基础上，再判断是否可导。

3. 可导（可微）的条件：以上条件都满足时（极限存在、函数连续），若左导数 = 右导数（差值式）或差值式 = 函数式

4. 导函数连续的条件：把导函数当成一个新的函数，代入②的条件（注意：左导数、右导数和导数的做极限、导数的右极限是两组概念）

# 一、函数极限

# 1. 无穷小等价

1. 无穷小等价公式（很简单的已略去）

   $$\begin{aligned} \ln(x+\sqrt{1+x^2}) &\sim x\\ a^x-1 = e^{\ln a}-1 &\sim x\ln a\\ (1+x)^{\alpha} \sim \alpha x \end{aligned}$$

2. 无穷小等价规则

   1. 复合函数

      $$若\lim_{x\rightarrow 0}时，f(x)\sim ax^m、g(x)\sim bx^n;\ 则f[g(x) \sim ab^mx^{mn}]$$

   2. 变上限积分

      $$若\lim_{x\rightarrow 0}时， f(x) = ax^m;\ 则\int^x_0f(t)\ dt \sim \int^x_0at^m\ dt$$

   3. 复合函数 + 变上限积分

      $$若\lim_{x\rightarrow 0}时， f(x) = ax^m、g(x)\sim bx^n;\ 则\int^{g(x)}_0f(t)\ dt \sim \int^{bx^n}_0at^m\ dt$$

3. 无穷小等价适用原则：

   1. 由于无穷小等价脱胎于泰勒公式（见下），相当于泰勒公式的一阶展开。所以无穷小等价的使用原则在于等价后产生的项的阶数必须与分子（分母）的最高（最低）阶数一致。换句话说就是等价后的结果必须参与到计算极限值的过程中去，不能只产生高阶无穷小（或低阶无穷大）。

   2. 例如，下面这个例子：

      $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^\frac{1}{x} - e}{2x}$$

      不能简单地套用$\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^\frac{1}{x} = e$，这会产生常数项，应该使用泰勒公式：

      $$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^\frac{1}{x} - e}{2x} &= \frac{e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)} - e}{2x}\\ &= \frac{e[e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)-1} - 1]}{2x}\\ &= \frac{e[\frac{1}{x}\ln(1+x)-1]}{2x}\\ 分子分母同乘x\ \ &= \frac{e[\ln(1+x)-x]}{2x^2}\\ 泰勒二阶展开\ln\ \ &= \frac{e(x - \frac{1}{2}x^2 - x)}{2x^2} = -\frac{e}{4}\\ \end{aligned}$$

# 2. 泰勒公式

1. 常用公式

   $$\begin{aligned} e^x &= \sum^{+\infin}_{n=0}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!}\\ \sin x &= \sum^{+\infin}_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!}\\ \cos x &= \sum^{+\infin}_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n}}{2n!} = 1 - \frac{x^2}{2!}\\ \tan x &= x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)\\ \arctan x &= x -\frac{1}{3}x^3 + o(x)^3 \\ \arcsin x &= x + \frac{1}{6}x^3 + o(x)^3\\ \ln(1+x) &= \sum^{+\infin}_{n=0}(-1)^n\frac{x^{n}}{n} = x - \frac{x^2}{2}\\ \frac{1}{1-x} &= \sum^{+\infin}_{n=0}x^n = 1 + x + x^2\\ \frac{1}{1-x} &= \sum^{+\infin}_{n=0}(-1)^nx^n = 1 - x + x^2 \end{aligned}$$

2. 泰勒展开

   1. n 阶拉格朗日余项

      $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + ... +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

   2. 皮亚诺余项

      $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$$

# 3. 洛必达法则

# 4. 夹逼准则、单调有界准则（数列、函数都适用）

# 5. 函数极限存在性

# 6. 函数连续与间断

1. 第一类间断点：跳跃间断点、可去间断点
2. 第二类间断点：无穷间断点、振荡间断点
3. 若函数连续：即极限值等于函数值、左极限等于右极限。

# 二、 微分的定义

# 三、 微分、求导

# 1. 导常用函数公式

# 2. 复合函数求导

# 3. 隐函数求导

1. 复合函数求导公式。

2. 隐函数存在定理：

   $$\frac{dy}{dx} = -\frac{F'_x}{F'_y}$$

# 4. 反函数求导

设$\varphi(y) = x$ 是$y = f(x)$ 的反函数，则：

$$\varphi'(y) = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{f'(x)}$$

# 5. 分段函数、绝对值函数求导

注意定义法的使用。

# 6. 对数求导法、幂指函数求导

# 7. 参数方程求导

# 8. 高阶导数

1. 归纳法。

2. 莱布尼茨公式：

   $$\begin{aligned} u=u(x)、&v=v(x);\\ 和的导数&(u\pm v)^{(n)} = u^{(n)} + v^{(n)}\\ 积的导数&(uv)^{(n)} = u^{(n)}v + C^1_nu^{(n-1)}v' + ... + C^{n-1}_nu'v^{(n-1)} + uv^{(n)}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum^n_{k=0}C^k_nu^{(n-k)}v^{k} \end{aligned}$$

3. 利用泰勒展开反推。

# 四、 几何应用

# 1. 切线、法线、截距

	切线	法线
斜率	$y'(x).$	$- \frac {1}{y'(x)}.$
x 轴截距	$x - \frac {y}{y'(x)}.$	$x + yy'(x).$
y 轴截距	$y - xy'(x).$	$y - \frac {x}{y'(x)}.$
方程	$Y - y = y'(x)(X - x).$	$Y - y = - \frac {1}{y'(x)}(X - x).$

# 2. 极值、单调性

# 3. 凸凹性、拐点

1. 凸凹性定义一：

   $$若有：f(\frac {x_1 + x_2}{2}) \lt \frac {f(x_1) + f(x_2)}{2}则函数为凹函数；\\ 若有：f(\frac {x_1 + x_2}{2}) \gt \frac {f(x_1) + f(x_2)}{2}则函数为凸函数；$$

2. 定义二：

   若函数$(a, b)$ 内连续可导

$$若有：f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \lt f(x)则函数为凹函数；\\ 若有：f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \gt f(x)则函数为突函数；$$

3. 凹凸性判定：

   若在区间$I$ 上，$f'(x) \gt 0$ 则为凹函数；

   若在区间$I$ 上，$f'(x) \lt 0$ 则为突函数。

4. 拐点：凹凸性反转的点，通常是$f'(x)$ 的驻点，即$f''(x) = 0$。

# 4. 最值、值域

# 5. 曲率、曲率半径

曲率公式：

$$k = \frac {|y''|}{[1 + (y')^2]^{\frac {3}{2}}}$$

对应的曲率半径公式：

$$r = \frac {1}{k}$$

# 五、 中值定理

# 1. 中值定理

1. 有界最值定理

2. 介值定理

3. 平均值定理

   当$a \lt x_1 \lt ... \lt x_k \lt b$ 时，在$[x_1,x_n]$ 上必存在一点$\xi$ 满足：

   $$f(\xi) = \frac{f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_n)}{n}$$

4. 零点定理

   $f(x)*f(b) \lt 0$ 时，必存在$\xi$ 使$f'(\xi) = 0$。

5. 费马定理

   $f(x)$ 在$\xi$ 可导、取极值必然有$f'(\xi) = 0$。

6. 罗尔定理

   $f(x)$ 满足$[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导、$f(a)=f(b)$，则存在$\xi \in (a,b)$ 使$f'(\xi) = 0$。

7. 拉格朗日中值定理

   $$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\\ f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

8. 柯西中值定理

   $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\$$

9. 积分中值定理

   $$\int^b_af(x)\ dx = f(\xi)(b-a)$$

# 2. 中值定理应用

# （1）. 确定区间

# （2）. 确定辅助函数

1. 简单情形，直接利用等式构造辅助函数。

2. 两项相加的，考虑使用乘积求导公式$(uv)' = u'v + uv'$（重要）：

   $$\begin{aligned} &(1).\ \ f(x)f'(x) \Rightarrow 令F(x) = f^2(x)\\ &(2).\ \ [f'(x)]^2 \Rightarrow 令F(x) = f(x)f'(x)\\ &(3).\ \ f'(x) + f(x)\varphi'(x) \Rightarrow 令F(x) = f(x)e^{\varphi(x)}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 注意：f'(x)+f(x) \Rightarrow 令F(x) = f(x)e^x\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f'(x)-f(x) \Rightarrow 令F(x) = f(x)e^{-x}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f'(x)+kf(x) \Rightarrow 令F(x) = f(x)e^{kx} \end{aligned}$$

3. 有分母可以考虑商的求导公式$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$：

   $$\begin{aligned} &(1).\ \ f'(x)x - f(x) \Rightarrow 令F(x) = \frac{f(x)}{x}\\ &(2).\ \ f''(x)f(x) - [f'(x)]^2 \Rightarrow 令F(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}\\ &(3).\ \ f''(x)f(x) - [f'(x)]^2 \Rightarrow 也可令F(x) = \ln f(x) \end{aligned}$$

4. 出现积分、连续条件可以考虑：

   $$F(x) = \int^x_af(t)\ dt$$

# （3）. 确定定理