# 前言

逻辑函数的表示方法：1、逻辑函数；2、真值表；3、卡诺图；4、逻辑图；5、波形图

逻辑式化简有两种方法：
1. 公式化简
2. 卡诺图法化简

# 一、 逻辑函数表达方式的相互转换

# 1. 真值表

真值表是表达一个逻辑函数的全部输入对应的全部输出的一个表格，左边是输入部分，右边是输出部分。输入可能会有很多个，设为 A、B、C…，ABC 组成的二进制数按照从小到大的排列；输出一般有 1 个（多个输出要分开求），设为 X。则真值表可能为：

输入 A 输入 B 输入… AB 二进制对应的值 输出 X
0 0 … 0 0
0 1 … 1 1
1 0 … 2 1
1 1 … 3 0

最小项和最大项：最小项是真值表中输出为 0 的某一行，记为m(x)m(x)，最大项是真值表输出为 1 的行，记为M(x))M(x))

最小项表达式：最小项之和（如上面表格中，最小项表达式Y=m0+m3=Σm(0,3)Y = m_0 + m_3 = \Sigma m(0,3)）。

最大项表达式：最大项之积（Y=M0∗M3=ΠM(0,3)Y = M_0 * M_3 = \Pi M(0,3)）

# 2. 真值表转换为逻辑式

根据真值表写逻辑函数式时，

  1. 取输出值为 1 时的一行（如上面的第二、三行），若这一行的某输入变量为 1（如第二行的 B 输入），则该变量写原变量（BB）；若为 0（如第二行的 A 输入）则写反变量（A‾\overline {A}）；
  2. 将步骤 1 中提取出来的原变量、反变量写成 “与式”（乘积）的形式，（如上面例子中应该写为A‾B\overline {A}B）；
  3. 继续步骤 1 和步骤 2，写出所有输出为 1 的行对应的输入变量 “与式”（A‾B\overline {A}B、AB‾A\overline {B}）；
  4. 将所有行对应的 “与式” 相或，就是真值表对应的逻辑函数式（A‾B+AB‾\overline {A}B + A\overline {B}）。

# 3. 逻辑式转逻辑图

从逻辑式画出逻辑图（也叫电路图），略。

# 二、逻辑式化简

注：与为 "+"，或为 "*"，非为 "-"，异或是 "⨁\bigoplus"，同或是"⨂\bigotimes"

  1. 基本性质：0∗A=00 * A = 0、1∗A=A1 * A = A、1+A=11 + A = 1、0+A=00 + A = 0.
  2. 公共非号摘掉要遵循德摩根定理：A+B‾=A∗B\overline{A + B} = A * B、A∗B‾=A+B\overline{A * B} = A + B.

# 1. 利用公式化简

  1. 用到的公式

    1. 消去法：A+BC=(A+B)(A+C)⇒A+A‾B=A+BA + BC = (A + B)(A + C)\Rightarrow A + \overline{A}B = A + B.
    2. 吸收法：A+AB=AA + AB = A、AB+A‾B+BC=AB+A‾CAB + \overline{A}B + BC = AB + \overline{A}C.
    3. 并项法：AB+AB‾=AAB + A\overline{B} = A.
    4. 配项法：乘 1 项（如A+A‾=1A + \overline{A} = 1）、加 0 项（如AA‾=0A\overline{A} = 0）配项。

  2. 对偶规则

    化简或与式时常用到对偶式（先对偶化成与或式，化简后再变回来），对偶式YDY_D 就是在字母顺序不变时，把原式与变或、或变与、0 变 1、1 变 0 后得到的新式子。例如：

    Y=A‾B‾+C‾DE‾+0YD=(A‾+B‾)∗(C‾+D+E‾)∗1.\begin{aligned} Y &= \overline{A}\overline{B}+\overline{C}D\overline{E}+0\\ Y_D &= (\overline{A}+\overline{B})*(\overline{C}+D+\overline{E})*1. \end{aligned}

  3. 反演定理

    反演定理说明了Y‾\overline{Y} 和YY 的关系，及Y‾\overline{Y} 等于YY 保持字母顺序不变，与变或、或变与、0 变 1、1 变 0、原变量变反变量、反变量变原变量后的结果。例如：

    Y=A‾B‾+C‾DE‾+0Y‾=(A+B)∗(C+D‾+E)∗1.\begin{aligned} Y &= \overline{A}\overline{B}+\overline{C}D\overline{E}+0\\ \overline{Y} &= (A+B)*(C+\overline{D}+E)*1. \end{aligned}

  4. 例子

    代数法化简：Y=BC‾D+BCD‾+BCDY = B\overline{C}D + BC\overline{D} + BCD.

    Y=BC‾D+BCD‾+BCD=BC‾D+BCD+BCD‾+BCD(配项:BCD+BCD=0)=BC+BD(并项法：BC‾D+BCD=BD...)\begin{aligned} Y &= B\overline{C}D + BC\overline{D} + BCD\\ &= B\overline{C}D + BCD + BC\overline{D} + BCD(配项:BCD + BCD = 0)\\ &= BC + BD(并项法：B\overline{C}D + BCD = BD...) \end{aligned}

  5. 练习题

    1. 代数法化简：Y=(A‾B‾+C)∗ABD+ADY = (\overline{\overline{A}B} + C) * ABD + AD.

      答案：ADAD。（直接使用吸收法）

    2. 代数法化简：Y=AB+A‾C‾+BC‾+A‾CY = AB + \overline{A}\overline{C} + B\overline{C} + \overline{A}C.

      答案：Y=A‾+BY = \overline{A} + B。

    3. 求Y=A(A‾+C+D)∗(D‾+E)∗(A+B‾)∗(C‾+E)Y = A(\overline{A} + C + D)*(\overline{D} + E)*(A + \overline{B})*(\overline{C} + E).

      答案：Y=(A+CD+E)D=A(C+D)EY = (A + CD + E)_D = A(C+D)E。（使用对偶规则）

    4. 证明：A+AB‾C‾+A‾CD+(C‾+D‾)E=A+CD+EA + A\overline{B}\overline{C} + \overline{A}CD + (\overline{C} + \overline{D})E = A + CD + E.

      （略）

# 2. 利用卡诺图

  1. 卡诺图

    卡诺图是最小项之和的一种图形表示方法，任何逻辑式都可以化为最小项之和的形式，也就可以作卡诺图。卡诺图的每个方格都对应逻辑函数的一个最小项，相邻方格代表的最小项只有一个变量不同，称为相邻项（同一列 / 行的两端的两个方格也是相邻项）。三变量和四变量卡诺图如下：

    kanuo

  2. 卡诺图法化简（框 1 法）

    1. 画出函数对应的卡诺图。
    2. 对最小项为 1 的项（填 1 的方格）重复画方框，方框内必须包围2n2^n 个为 1 的相邻项，框内不能含有 0 项。从含 1 最多的框起，1 可重复框选，但每次必须有新的 1 项。（处于四角和端点也是相邻项）
    3. 将各个框化简（相同项写成 “与式”）。
    4. 各个框的结果相相或。

  3. 例题：使用卡诺图化简Y=Σm(0,2,4,5,6,7,9,15)Y = \Sigma m(0,2,4,5,6,7,9,15) 和Y=ΠM(0,2,8,9,10,11)Y = \Pi M(0,2,8,9,10,11)。

    作Y=Σm(0,2,4,5,6,7,9,15)Y = \Sigma m(0,2,4,5,6,7,9,15) 对应的卡诺图，并框起连接着的 1：

    liti1

    上图中共有 4 个框，化简后，逻辑表达式Y=A‾D‾+A‾B+BCD+AB‾C‾DY = \overline{A}\overline{D} + \overline{A}B + BCD + A\overline{B}\overline{C}D（卡诺图法结果不唯一）

    liti2

    上图中共有 2 个框，化简后，逻辑表达式Y=A‾+DY = \overline{A} + D（卡诺图法结果不唯一）

  4. 卡诺图转最简与或式、最简或与式、最简与非式、最简与或非式等等